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By Emanuele Delucchi, Giovanni Gaiffi, Ludovico Pernazza

- Percorsi concreti che portano dall'analisi di giochi a argomenti di matematica, testati nella pratica con studenti di scuole superiori
- Capitoli di approfondimento con definizioni e dimostrazioni dei teoremi in step with introdurre e esaminare con più rigore gli argomenti trattati
- Numerosi esercizi

Spesso i giochi danno lo spunto consistent with affrontare argomenti matematici interessanti e significativi. Si tratta di un punto di partenza stimolante in keeping with accedere alla matematica, come gli autori hanno potuto verificare in occasione di molte lezioni-laboratorio tenute con studenti delle scuole superiori in Italia, Svizzera, Germania e Stati Uniti. Da story esperienza concreta nasce il presente quantity, che ne conserva los angeles struttura di avvicinamento al rigore matematico attraverso domande e approfondimenti successivi, consolidati da molti esercizi.
Insegnanti, studenti e appassionati di matematica troveranno nel libro percorsi che partono dai giochi e approdano a temi matematici talvolta fuori dagli schemi dei programmi scolastici: i grafi, le permutazioni, i gruppi, le funzioni di più variabili reali, il teorema di punto fisso di Brouwer, gli omeomorfismi, le curve nel piano e i primi concetti della topologia, solo in keeping with citarne alcuni. Il testo si offre quindi sia come supporto pratico according to proporre itinerari didattici, sia come lettura di approfondimento, che confidiamo piacevole, a proposito di alcuni giochi e della matematica che permettono di scoprire.

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In particolare, si osserva facilmente che ogni trasposizione manda p(x 1 , x 2 , x three ) in −p(x 1 , x 2 , x three ). Capitolo 10 ● In primo piano: gruppi e permutazioni sixty nine Dunque, supponiamo che un certo elemento f ∈ S three si possa scrivere come prodotto di n trasposizioni ma anche come prodotto di m trasposizioni, con n dispari e m pari. Cosa accade quando f agisce su p(x 1 , x 2 , x three )? Se pensiamo f come prodotto di n trasposizioni, in keeping with sapere come agisce f basta applicare una dopo l’altra queste n trasposizioni3 . Dunque cambieremo il segno n volte e, visto che n e` dispari, otterremo −p(x 1 , x 2 , x three ). Analogamente, se pensiamo l. a. permutazione f come prodotto di m trasposizioni e l. a. facciamo agire su p(x 1 , x 2 , x three ), otterremo p(x 1 , x 2 , x three ) dato che m e` pari. Questo e` un assurdo, dunque non e` possibile che n e m siano uno dispari e uno pari. los angeles dimostrazione according to n generico e` del tutto simile. Si parte considerando n variabili x 1 , x 2 , . . . , x n e costruendo il polinomio p(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = ∏ i< j (x i −x j ) dato, come indica il simbolo, dal prodotto di tutti i possibili polinomi x i − x j con i < j. L’osservazione cruciale e` ancora una volta quella che una trasposizione agisce su p(x 1 , x 2 , . . . , x n ) cambiando il suo segno... Esercizio 10. eight Completare nei dettagli los angeles dimostrazione generale del teorema. Dal Teorema 10. 7 segue che possiamo dividere gli elementi di S n in due famiglie: le permutazioni ‘pari’ e quelle ‘dispari’. Esercizio 10. nine Dimostrare che le permutazioni pari di S n sono tante quante quelle dispari. Suggerimento. Sia f pari. Allora f ○ (1, 2) e` dispari. 10. four Di nuovo il gioco del 15 Il gioco del 15 e` in realt`a equivalente a un gioco los angeles cui ‘scacchiera’ e` il gruppo S sixteen . Sia infatti C una configurazione del gioco del 15. Abbiamo osservato che possiamo associare a C una lista ordinata di numeri g 1 , g 2 , . . . , g 15 , g sixteen . E` interessante rileggere questa osservazione dicendo che associamo a C una permutazione f C dell’insieme {1, 2, . . . , 16}, precisamente l. a. seguente: fC = ( 1 g1 2 g2 three g3 four g4 ... ... ... ... 15 g 15 sixteen ). g sixteen Fare una mossa che ci porta dalla configurazione C alla configurazione C ′ si traduce nel linguaggio delle permutazioni dicendo che componiamo los angeles permutazione facts dalla configurazione C con quella information dallo scambio delle posizioni dei blocchetti. Quest’ultima sar`a una trasposizione, visto che i blocchetti che si ‘spostano’ sono due, quello della casella vuota e un altro. Allora abbiamo: f C ′ = f C ○ (i, j). f , g ∈ S three , a long way agire los angeles permutazione prodotto f ○ g su p(x 1 , x 2 , x three ), e` l. a. stessa cosa che a ways agire prima los angeles g e poi, sul polinomio ottenuto, los angeles f . Questo si puo` dimostrare ‘seguendo’ una in line with una le variabili nelle due trasformazioni: x 1 , in keeping with esempio, verr`a trasformata in x( f ○g)(1) dalla f ○ g, mentre dalla g viene trasformata in x g(1) e, quando entra in azione los angeles f , x g(1) viene trasformata in x f (g(1)) . Ma in line with definizione di composizione di funzioni ( f ○ g)(1) = f (g(1)).

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